第18章 数项级数

例 1 设 $r > 0$ . 试考察等比级数 $$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{r}^{n - 1} $$ 的敛散性.

例 2 试考察级数 $$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{1}{n\left( {n + 1}\right) } $$

例 1 考察级数 $$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{1}{{n}^{2}} $$ 的敛散性.

例 2 考察级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{1}{\sqrt{n}}}$ 是否收敛.

例 3 设 $x \in \left( {0,\pi }\right)$ ,试考察级数 $$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\sin \frac{x}{{n}^{2}} $$ 是否收敛.

例 4 判别以下级数是否收敛: $$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{1}{\sqrt{{4n} - 3}} $$

例 5 设 $x \in \left( {0,\pi }\right)$ . 试判别以下级数是否收敛: (a) $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\left( {1 - \cos \frac{x}{n}}\right)$ ; (b) $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{2}^{n}\sin \frac{x}{{3}^{n}}}$ .

例 6 用定义验证, 很容易看出: 级数 $$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\ln \left( {1 + \frac{1}{n}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\left( {\ln \left( {n + 1}\right) - \ln n}\right) $$ 是发散的. 事实上, 我们有 $$ \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}\ln \left( {1 + \frac{1}{n}}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}\ln \left( {N + 1}\right) = + \infty . $$ 用级数 $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\ln \left( {1 + \frac{1}{n}}\right)$ 与级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{1}{n}}$ 做比较,我们断定后一级数是发散的: $$ \lim \frac{\frac{1}{n}}{\ln \left( {1 + \frac{1}{n}}\right) } = 1 > 0. $$ 再以级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{1}{n}}$ 与级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\sin \frac{1}{n}}$ 做比较,我们又断定级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\sin \frac{1}{n}}$ 是发散的: $$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\frac{\sin \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} = 1 > 0. $$ 我们知道,对正项的等比级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{r}^{n}}$ ,当 $r < 1$ 时是收敛的,当 $r$ $\geq 1$ 时是发散的. 在定理 1 中把比较的标准取成等比级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{r}^{n}}$ ,就 得到以下的柯西根式判别法. 柯西根式判别法 (普通形式) 设 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{a}_{n}}$ 是正项级数. (1)如果存在 $r < 1$ 和 $N \in \mathbb{N}$ ,使得 $$ \sqrt[n]{{a}_{n}} < r,\;\forall n \geq N, $$ 那么级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{a}_{n}}$ 收敛; (2)如果对无穷多个 $n$ 有 $$ \sqrt[n]{{a}_{n}} \geq 1 $$ 那么级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{a}_{n}}$ 发散.

证明(1)如果广义积分 (2.2) 收敛, 那么级数 $$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 2}}^{{+\infty }}\left( {F\left( n\right) - F\left( {n - 1}\right) }\right) $$ 也收敛. 因为 $$ f\left( n\right) \leq {\int }_{n - 1}^{n}f\left( x\right) \mathrm{d}x = F\left( n\right) - F\left( {n - 1}\right) , $$ $$ n = 2,3,\cdots , $$ 所以级数 (2.1) 也收敛. (2)如果广义积分(2.2)发散,那么级数 $$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\left( {F\left( {n + 1}\right) - F\left( n\right) }\right) $$ 发散. 因为 $$ f\left( n\right) \geq {\int }_{n}^{n + 1}f\left( x\right) \mathrm{d}x = F\left( {n + 1}\right) - F\left( n\right) , $$ 所以级数 (2.1) 也发散. 借助于面积大小的比较, 可以作出柯西积分判别法的一个明晰的几何解释. 在图 18-1 中, 画阴影的那些矩形条的面积之和等于 $\mathop{\sum }\limits_{{n = 2}}^{N}f\left( n\right)$ ,较大的那些矩形条的面积之和等于 $$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{N - 1}}f\left( n\right) $$ \begin{center} \includegraphics[max width=0.2\textwidth]{images/103.jpg} \end{center} \hspace*{3em} 图 18-1 将上述两个和数所表示的面积与积分 $$ {\int }_{1}^{N}f\left( x\right) \mathrm{d}x $$ 所表示的面积做比较, 我们得到 $$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 2}}^{N}f\left( n\right) \leq {\int }_{1}^{N}f\left( x\right) \mathrm{d}x \leq \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{N - 1}}f\left( n\right) . $$ 由此得知: 级数 $$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}f\left( n\right) $$ 与积分 $$ {\int }_{1}^{+\infty }f\left( x\right) \mathrm{d}x $$ 有相同的敛散性质. 利用柯西积分判别法, 很容易判断以下这些级数是否收敛: (1) $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{1}{{n}^{p}}}$ ; (2) $\mathop{\sum }\limits_{{n = 2}}^{{+\infty }}\frac{1}{n{\left( \ln n\right) }^{p}}$ ; (3) $\mathop{\sum }\limits_{{n = 3}}^{{+\infty }}\frac{1}{n\ln n{\left( \ln \ln n\right) }^{p}},\cdots$ . 具体讨论如下: (1) 与积分 $\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{{x}^{p}}}$ 比较,我们断定: 当 $p > 1$ 时,级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{1}{{n}^{p}}}$ 收敛; 而当 $p \leq 1$ 时,级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{1}{{n}^{p}}}$ 发散. (2)与积分 $\displaystyle{\int }_{2}^{+\infty }\frac{1}{x{\left( \ln x\right) }^{p}}$ 比较,我们断定:当 $p > 1$ 时,级数 $$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 2}}^{{+\infty }}\frac{1}{n{\left( \ln n\right) }^{p}} $$ 收敛；而当 $p \leq 1$ 时,级数发散. (3)与积分 $$ {\int }_{3}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{x\ln x{\left( \ln \ln x\right) }^{p}} $$ 比较,我们断定:当 $p > 1$ 时,级数 $$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 3}}^{{+\infty }}\frac{1}{n\ln n{\left( \ln \ln n\right) }^{p}} $$ 收敛；而当 $p \leq 1$ 时,级数发散. 采用大写 $O$ 记号,还可以陈述以下很方便的判别法则: 如果正项级数 $$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{a}_{n} $$ 满足条件 $$ {a}_{n} = O\left( \frac{1}{{n}^{p}}\right) ,\;p > 1, $$ 或者 $$ {a}_{n} = O\left( \frac{1}{n{\left( \ln n\right) }^{p}}\right) ,\;p > 1, $$ 或者 $$ {a}_{n} = O\left( \frac{1}{n\ln n{\left( \ln \ln n\right) }^{p}}\right) ,\;p > 1, $$ 那么这级数收敛.

例 8 高斯超几何级数定义为 $$ 1 + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{\alpha \left( {\alpha + 1}\right) \cdot \cdots \cdot \left( {\alpha + n - 1}\right) \cdot \beta \left( {\beta + 1}\right) \cdot \cdots \cdot \left( {\beta + n - 1}\right) }{n!\gamma \left( {\gamma + 1}\right) \cdot \cdots \cdot \left( {\gamma + n - 1}\right) }{x}^{n}. $$ 设 $\alpha ,\beta ,\gamma ,x > 0$ ,试考察该级数的敛散情况.

例 1 考察这样一个级数: $$ \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{+\infty }}{\left( -1\right) }^{k - 1}\frac{1}{k} \tag{4.1} $$ 试说明 (1)由级数 (4.1) 各项的绝对值做成的级数是发散级数； (2)级数 (4.1) 是收敛的

例 2 设 $\displaystyle{\sum {a}_{n}}$ 是任意项级数,并设 $$ \overline{\lim }\sqrt[n]{\left| {a}_{n}\right| } = q, $$ 则有: (1)如果 $q < 1$ ,那么级数 $\displaystyle{\sum {a}_{n}}$ 绝对收敛； (2)如果 $q > 1$ ,那么级数 $\displaystyle{\sum {a}_{n}}$ 发散.

例 3 设级数 $\displaystyle{\sum {a}_{n}}$ 的各项都不等于 0 (可以放宽到: 至多有限项为 0 ),则有: (1)如果 $$ \overline{\lim }\left| \frac{{a}_{n + 1}}{{a}_{n}}\right| < 1, $$ 那么级数 $\displaystyle{\sum {a}_{n}}$ 绝对收敛; (2)如果 $$ \underline{\lim }\left| \frac{{a}_{n + 1}}{{a}_{n}}\right| > 1 $$ 那么级数 $\displaystyle{\sum {a}_{n}}$ 发散.

例 4 (关于交错级数的莱布尼茨判别法) 设序列 $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 单调下降趋于 0,则以下级数收敛: $$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{\left( -1\right) }^{n - 1}{a}_{n} $$

例 6 设级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{b}_{n}}$ 收敛, $\alpha \geq 0$ . 求证: (1) 级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{{b}_{n}}{{n}^{a}}}$ 收敛; (2) 级数 $\displaystyle{\sum \frac{{n}^{a}}{{n}^{a} + 1}{b}_{n}}$ 收敛.

例 8 设 $\displaystyle{\sum {b}_{k}}$ 是收敛级数,求证 $$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}k{b}_{k} = 0 $$